Model of Theories

#mathematical_logic

theory 定义为一个在 logical implication 下封闭的 sentence 集合，即 $T$ 是一个理论当且仅当任意 $\sigma$ 有 $\sigma \in T\Leftarrow T\models \sigma$。theory 不考虑包含自由变量的公式。

对于某一语言的 a class of structure $\mathcal{K}$，theory of $\mathcal{K}$ 定义为 $\text{Th}\mathcal{K}=\{\sigma \mid \sigma \text{ is true in every member of }\mathcal{K}\}$。$\text{Th}\mathcal{K}$ 是一个 theory 因为 $\sigma \in \text{Th}\mathcal{K}\iff \text{for all }\mathcal{M}\text{ in }\mathcal{K}\text{,}{\models }_{\mathcal{M}}\sigma \Leftarrow \text{Th}\mathcal{K}\models \sigma$，第二个双向箭头是因为，所有 $\mathcal{M}$ 都是 $\text{Th}\mathcal{K}$ 的模型，从而自然也是 $\text{Th}\mathcal{K}$ 逻辑推论的模型。

theory $T$ 是完备的（Complete），定义为任意 wff $\sigma$，要么 $T⊢\sigma$ 要么 $T⊢\mathrm{\neg }\sigma$。

theory $T$ 是完备的的一个等价叙述是任意 $T$ 的模型 $\mathfrak{A},\mathfrak{B}$ 都满足 $\mathfrak{A}\equiv \mathfrak{B}$。充分性是显然的，必要性：反证法，假设 theory $T$ 不完备，则存在某一个 $\sigma$ 满足 $T⊬\sigma$ 且 $T⊬\mathrm{\neg }\sigma$，分别存在模型 $\mathfrak{A}$ 使得 $\mathfrak{A}\models T$ 且 $\mathfrak{A}\models \mathrm{\neg }\phi$，模型 $\mathfrak{B}$ 使得 $\mathfrak{B}\models T$ 且 $\mathfrak{B}\models \phi$，从而 $\mathfrak{A}\not\equiv \mathfrak{B}$ 产生矛盾。